やたろう さん ご質問有難うございます。
タンス一つの長距離運搬・運送ということもあって、正直料金を一言で申し上げるのは難しいです。ただ、期日や日数の指定はないとおっしゃられてますので、チャーター便（専用トラック）のような方法は考慮に入れず、最も安くなる方法を考えましょう。
関西や中部地区から東北方面への引越しをされる別の方の都合に合わせられるのが一番良いと思います。その方と直接話されて打ち合わせされるわけではなく、引越し業者に「配車の都合に合わせるよ」といった姿勢を見せて、料金交渉をされると良いということなのです。
長距離の引越しは積みこぼしがあったら大変なことになるので、ほとんどのケースでは営業マンはゆったり目に荷物量を見積もっています。つまり、タンス一竿分のスペースは大抵有るのです。特に最近は、運送・引越し業界は利益率の低下で悩んでいますので、こういった長距離の引越しの空きスペースに、同方向のお届けでリスクの少ない作業の依頼をいただけるのは大変ありがたいことだと解釈します（そういう引越し業者さんが多いです）。
メインのお客様の料金に、燃料代や高速代・人件費などの経費を考慮して契約を取っている訳ですから、空きスペース分の作業のご依頼の売り上げは、全て利益として考えられるので、正直幾らお安い値段でもお引き受けしたいというのが本音と言えます。
ただ引越し業者さんも商売ですから、こういった本音はなかなか正直には勿論言いません。ここからは皆さんの交渉次第なのです。交渉の第一歩として、複数の引越し業者に見積もり依頼をされることをお勧めしますし、それよりもまず、都合の良い同方向の長距離移動を持っている引越し業者さんを探すのが一番なので、そういった意味でも、当サイトでお勧めする一括見積もりサービスをご利用ください。無料ですのでお気軽にどうぞ。
参考までに私の思う料金相場ですが、お届け先の階段の作業がスタッフ二人で出来るリスクの少ない作業だとして、１万円前後が底値ではないかと・・・。一般的には２～３万円前後の見積もりになるんだと思います。